[Algorithm] 최단경로 알고리즘 - 다익스트라, 플로이드 워셜 (Python)

Shortest Path

• 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
• 대표적인 최단 거리 알고리즘으로는 다익스트라, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘이 있다.

최단 경로 문제의 종류

• 단일 출발(single-source) 최단 경로
  • 어떤 하나의 정점에서 출발하여 나머지 모든 정점까지의 최단 경로를 찾는 문제
• 단일 도착(single-destination) 최단 경로
  • 모든 정점에서 출발하여 어떤 하나의 정점까지의 최단 경로를 찾는 문제
  • 그래프 내의 간선들을 뒤집으면 단일 출발 최단 거리 문제가 된다.
• 단일 쌍(single-pair) 최단 경로
  • 모든 정점 쌍들 사이의 최단 경로를 찾는 문제

 

Dijkstra

• 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘
• 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우
• 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 매번 가장 비용이 적은 노드를 선택하는 과정의 반복하기 때문에 그리디 알고리즘이라고 할 수 있다.

 

다익스트라 알고리즘의 원리

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
3. 방문하지 않는 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 3, 4번 과정을 반복한다.

다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 항상 1차원 리스트(최단 거리 테이블)에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다.

 

다익스트라 알고리즘의 구현

V개의 정점과 음수가 아닌 E개의 간선을 가진 그래프 G에서 특정 출발 정점(S)에서부터 다른 모든 정점까지의 최단경로를 구하는 알고리즘

1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드 : \(O(V^2)\)

• 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 최단 거리 테이블의 모든 원소를 순차 탐색한다.

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하기 위한 리스트 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(m):  
    a, b, c = map(int, input().split())  
    graph[a].append((b, c))  
    # a 노드에서 b 노드로 가는 비용 c

def get_smallest_node():  
    min_value = INF  
    index = 0  
    for i in range(1, n + 1):  
        if distance[i] < min\_value and not visited\[i\]:  
            min_value = distance[i]  
            index = i  
    return index

def dijkstra(start):  
    # 시작 노드에 대해서 초기화  
    distance[start] = 0  
    visited[start] = True  
    for j in graph[start]:  
    	distance[j[0]] = j[1]  
    	# 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복  
        for i in range(n - 1):  
            # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서 방문 처리  
            now = get_smallest_node()  
            visited[now] = True  
            for j in graph[now]:  
                cost = distance[now] + j[1]  
                if cost < distance[j[0]]:  
                	distance[j[0]] = cost

dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력

for i in range(1, n + 1):  
    if distance[i] == INF:  
    	print("INFINITY")  
    else:  
    	print(distance[i])

 

2. 구현하기 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드 : \(O(ElogV)\)

• 최단 거리가 가장 짧은 노드를 찾을 때 순차 탐색이 아닌 힙 자료구조를 이용해 찾는다.

우선순위 큐

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제
• 파이썬에서는 PriorityQueue와 heapq 라이브러리가 우선순위 큐 기능을 지원한다.
• 일반적으로 heapq가 더 빠르게 동작하기 때문에 수행 시간이 제한된 상황에서는 heapq 사용이 권장된다.
• 우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙(Min heap) 또는 최대 힙(Max heap)을 사용한다.
  • 최소 힙: 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제
  • 최대 힙 : 값이 큰 데이터가 먼저 삭제
  • 최소 힙을 최대 힙처럼 사용하기 위해 일부러 우선순위 값에 -를 붙이기도 한다.
  • 파이썬, 자바에서는 최소 힙을, c++에서는 최대 힙을 이용하여 우선순위 라이브러리를 구현한다.

우선순위 큐 구현 방식	삽입 시간	삭제 시간
리스트	$O(1)$	$O(N)$
힙	$O(logN)$	$O(logN)$

 

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호 입력 받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보 입력 받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a 노드에서 b 노드로 가는 비용 c
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q:
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n + 1):
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])

 

Floyd-Warshall

• 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모구 구해야 하는 경우
• 플로이드 워셜 알고리즘 또한 다익스트라 알고리즘과 단계마다 거쳐가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다는 점이 같지만, 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 점이 다르다.
• 노드의 개수가 N개일 때 N번의 단계마다 \(O(N^2)\)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐가는 모든 경로를 고려한다.
• 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 시간 복잡도는 \(O(N^3)\)이다.
• 다익스트라 알고리즘에서 최단 거리를 저장하기 위해 1차원 리스트를 사용했다면, 플로이드 워셜 알고리즘에서는 2차원 리스트를 사용한다.
• 다익스트라 알고리즘은 그리디 알고리즘이지만, 플로이드 워셜 알고리즘은 노드의 개수만큼 단계를 반복하며 점화식에 맞게 2차원 리스트를 갱신하기 때문에 다이나믹 프로그래밍이다.
• \(D_{ab} = min(D_{ab}, D_{ak} + D_{kb})\)

INF = int(1e9)

# 노드의 개수 및 간선의 개수 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트를 만들고 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = mmin(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 결과 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY")
        else:
            print(graph[a][b], end=' ')
    print()